CQC. Combinação modal de resultados

Como podemos combinar os valores máximos das respostas modais (Ri) para determinar o valor máximo provável da resposta sísmica total (R)? Não é possível determinar o valor exato de R a partir dos valores Ri porque, em geral, as respostas modais atingem os seus picos em momentos diferentes, que, além disso, também não coincidem com o momento em que a resposta combinada R atinge o seu pico.

Existem diferentes métodos para aproximar a combinação das respostas modais máximas. Alguns desses métodos são a soma absoluta (Absolute Sum - ABSSUM), a raiz quadrada da soma dos quadrados (Square Root of Sum of Squares – SRSS) ou a combinação quadrática completa (Complete Quadratic Combination - CQC). Vamos detalhar este último, que é o que os nossos programas aplicam.

Combinação quadrática completa (CQC)

A regra de combinação CQC [1] é definida da seguinte forma:

Em que o coeficiente de correlação ou simultaneidade:

Sendo:

, a relação entre os períodos dos modos "i" e "j"
ζ: razão de amortecimento (supomos que seja a mesma para todos os modos)
R: resposta (esforço, deslocamento, reação, etc.) combinada resultante
R_i, R_j: resposta (esforço, deslocamento, reação, etc.) correspondente aos modos "i" e "j"

A seguir, apresentamos alguns pontos relacionados com a combinação quadrática completa.

Os termos da soma dupla dentro da raiz da equação [Eq. 1] podem ser positivos ou negativos, dependendo se as respostas modais correspondentes têm o mesmo sinal ou sinais opostos.

O coeficiente de correlação ρ_ij leva em consideração a distribuição das frequências naturais da estrutura, se elas estão bem diferenciadas ou não. Este coeficiente assume valores entre 0 e 1. Quanto mais próximos estiverem os períodos ou as frequências de dois modos, ou seja, quando r tende para 1, o valor de ρ_ij tende para 1. No entanto, o valor de ρ_ij diminui rapidamente à medida que as frequências se afastam umas das outras.

O resultado da combinação CQC é positivo. Nos nossos programas, uma vez realizada a combinação, aplicamos ao valor combinado R o sinal da resposta modal dominante.

Combinação linear equivalente

A regra CQC pode ser aplicada como uma combinação linear equivalente. Nos programas da CYPE, aplica-se a formulação proposta por Katz [2] para tal:

, donde

Esta forma equivalente de aplicar a regra CQC permite gerir a concomitância dos resultados sísmicos.

Todas as respostas máximas não têm necessariamente de ocorrer ao mesmo tempo. Isso é importante para algumas verificações, como, por exemplo, a verificação de solicitações normais de uma secção, na qual intervêm N, M_x y M_y. Dependendo do caso, o máximo de todos os esforços atuando ao mesmo tempo pode levar a uma solução antieconómica ou, até mesmo, incorreta, uma vez que a situação pior não precisa ocorrer para o máximo dos três esforços.

A CYPE aplica esta consideração sobre a concomitância de resultados sísmicos com um máximo determinado, o que se reflete na expansão das combinações sísmicas nos nossos programas..

Referências

[1] Der Kiureghian, Varios.

[2] C. Katz. “Anmerkung zur Überlargerung von Antwortspektren”. D-A-CH Mitteilungsblatt, 2009.