CQC. Combinación modal de resultados

¿Cómo podemos combinar los valores máximos de las respuestas modales (Ri) para determinar el valor máximo probable de la respuesta sísmica total (R)? No es posible determinar el valor exacto de R a partir de los valores Ri porque, en general, las respuestas modales alcanzan sus picos en diferentes instantes de tiempo, que, además, tampoco coincide con el instante en el que lo alcanza la respuesta combinada R.

Existen distintos métodos para aproximar la combinación de las respuestas modales máximas. Algunos de estos métodos son la suma absoluta (Absolute Sum - ABSSUM), la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (Square Root of Sum of Squares – SRSS) o la combinación cuadrática completa (Complete Quadratic Combination - CQC). Vamos a detallar este último, que es el que nuestros programas aplican.

Combinación cuadrática completa (CQC)

La regla de combinación CQC [1] se define de la siguiente manera:

Donde el coeficiente de correlación o de simultaneidad:

Siendo:

, el ratio entre periodos de los modos ‘i’ y ‘j’
ζ: razón de amortiguamiento (suponemos el mismo para todos los modos)
R: respuesta (esfuerzo, desplazamiento, reacción, etc.) combinada resultante
R_i, R_j: respuesta (esfuerzo, desplazamiento, reacción, etc.) correspondiente a los modos ‘i’ y ‘j’

A continuación se exponen algunos puntos referidos a la combinación cuadrática completa.

Los términos de la doble suma dentro de la raíz de la ecuación [Eq. 1] pueden ser positivos o negativos, dependiendo de si las correspondientes respuestas modales tienen el mismo signo o bien el signo opuesto.

El coeficiente de correlación ρ_ij tiene en cuenta la distribución de las frecuencias naturales de la estructura, si se encuentran bien diferenciadas o no. Este coeficiente toma valores entre 0 y 1. Cuanto más próximos son los periodos o las frecuencias de dos modos, es decir, cuando r tiende a 1, el valor de ρ_ij tiende a 1. Sin embargo, el valor de ρ_ij disminuye rápidamente conforme las frecuencias se van alejando entre sí.

El resultado de la combinación CQC es positivo. En nuestros programas, una vez realizada la combinación, al valor combinado R le aplicamos el signo de la respuesta modal dominante.

Combinación lineal equivalente

La regla CQC puede ser aplicada como una combinación lineal equivalente. En los programas de CYPE se aplica la formulación propuesta por Katz [2] para ello:

, donde

Esta forma equivalente de aplicar la regla CQC permite gestionar la concomitancia de resultados sísmicos.

Todas las respuestas máximas no tienen por qué darse a la vez. Esto es importante para algunas comprobaciones como, por ejemplo, la comprobación de solicitaciones normales de una sección, en la que intervienen N, M_x y M_y. Según el caso, el máximo de todos los esfuerzos actuando a la vez puede llevar a una solución antieconómica o, incluso, incorrecta, ya que la situación pésima no tiene por qué producirse para el máximo de los tres esfuerzos.

CYPE aplica esta consideración sobre la concomitancia de resultados sísmicos con uno máximo dado, lo cual se ve reflejado en la expansión de las combinaciones sísmicas en nuestros programas.

Referencias

[1] Der Kiureghian, Varios.

[2] C. Katz. “Anmerkung zur Überlargerung von Antwortspektren”. D-A-CH Mitteilungsblatt, 2009.